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Solução da Equação de Colebrook-White pelo Método da Secante Modificada Usando Diferentes Valores do Fator de Perturbação

DOI: http://dx.doi.org/10.12702/iii.inovagri.2015-a365

 

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Yure de S. Couras1, Francisco D. D. Arraes2, Joaquim B. de Oliveira3, Kleber G. de Macedo4 & Wesley L. V. Torres5

 

Resumo: Para quantificar a perda de carga geralmente utiliza-se a equação de Darcy-Weisbach também conhecida como equação universal. A grande dificuldade de se utilizar a equação universal está ligada a obtenção do fator de atrito (f) em regime turbulento. A equação matemática mais utilizada é a equação Colebrook-White no qual este relaciona o fator de atrito com diâmetro (D), número de Reynolds (Re) e a rugosidade do tubo (ε).Entretanto, o ”f” está implícito, sendo, portanto, para sua solução faz-se necessário à utilização de métodos numéricos iterativos. O método de Newton-Raphson é o mais utilizado na solução da equação de Colebrook-White. Porém, é necessária a obtenção da derivada da equação, para resolver esse problema surge como alternativa o método da secante modificada. Objetivo do presente trabalho foi de testar o método da secante modificada utilizando diferentes valores do fator de perturbação na solução da equação de Colebrook-White. Para comparar a eficiência do método da secante modificada e seus desvios na estimativa do f com método de Newton-Raphson, foram testados um intervalo de valores ε/D e Re. Para este propósito, um intervalo de 1000 valores do número de Reynolds foi selecionado entre 4x103 ≤ Re ≤ 4x108 e 20 valores de rugosidade relativa da tubulação foram selecionados entre 10-6 ≤ ε/D ≤ 10-1 gerando assim uma matriz de 20000 pontos. Foi desenvolvido um aplicativo usando linguagem Visual Basic Application. Foram testados cinco valores do fator de perturbação (δ) de 10-1 a 10-5. Os valores de f obtidos pelo método secante modificada com os cinco valores diferentes de δ obtiveram resultados semelhantes, que implica dizer que não importar o δ utilizado o resultado será o mesmo, apresentando diferenças na oitava casa decimal. O método da secante modificada apresentou resultados satisfatórios na solução da equação de Colebrook-White, tanto em precisão como em rapidez.

Palavras-chave: Fator de atrito. Perda de carga. Newton-Rapshon

 

Abstract: To quantify the head loss is used usually the Darcy-Weisbach equation also known as universal equation. The difficulty of using the universal equation is turned obtaining the friction factor (f) in turbulent flow. The most used mathematical equation is the Colebrook-White equation in which it links the friction factor having a diameter (D), Reynolds number (Re), and pipe roughness (ε).However, "f" is implicit and, therefore, for its solution it is necessary to use iterative numerical methods. The Newton-Raphson method is the most used in the solution of the Colebrook-White equation. However, obtaining the derivative of the equation is needed to solve this problem appears as an alternative the modified secant method. The main objective of this study was to test the secant method using different values of the disturbance factor in the solution of the Colebrook-White equation. To compare the efficiency of the modified secant method and its deviations in the estimate of f with Newton-Raphson, were tested a range of values ε / D and Re. For this purpose, a range of 1,000 values of the Reynolds number were selected between 4x103 ≤ Re ≤4x108. And 20 pipe roughness values were selected among 10-6 ≤ ε / D ≤ 10-1 thus generating a matrix of points 20000. It was developed a application using Visual Basic Application language. Five values of the disturbance factor were tested (δ) of 10-1 to 10-5.The f values obtained by the modified secant method with five different values of δ had similar results, which implies that not import the δ used the result is the same, with differences in the eighth decimal place.The modified secant method showed satisfactory results in the solution of the Colebrook-White equation, both in accuracy and in speed.

Key words: Friction Factor, Head Loss, Newton-Rapshon

 

1 Tecnólogo em Irrigação e Drenagem. Iguatu - Ceará. Email:yure.couras@yahoo.com.br
2 Doutor, Professor do IFSERTÃO – PE/ campus Salgueiro - Pernambuco. Email: dirceuarraes@gmail.com
3 Doutor, Professor do IFCE/ campus Iguatu - Ceará. Email: joaquimbrancodeoliveira@gmail.com
4 Estudante de Irrigação e Drenagem, IFCE/ campus Iguatu - Ceará. Email:kleber117@hotmail.com
5 Estudante de Irrigação e Drenagem, IFCE/ campus Iguatu - Ceará. Email:wesley_livio@hotmail.com

 

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